المعادلات / حل معادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد مع أمثلة
تعريف :
- أي عبارة رياضية تحتوي على رمز = تسمى متساوية
- أي متساوية على شكل ax + b = 0 تسمى معادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد هو x
ملاحظة :
⧪ لما يطلب منك السؤال حل المعادلة هذا يعني أنه يطلب منك إيجاد قيم x كم تساوي
الحالة 1 :
كيف نحل معادلة من نوع ax + b = c. لحل معادلة من هذا الشكل مباشرة نأخذ المعاليم في جهة والمجاهيل في جهة ثانية .
تابع معي حل المثال التالي للإستيعاب أكثر
مثال
حل المعادلات التالية :
1) 0 = 6 + 5x-
2) (5x-15 = 5(x - 3
3) 9x-4 = 3x+4
الحل
1)
لدينا 0 = 6 + 5 (نكتب لدينا وبجانبها المعادلة كماهي )
ومنه 6- = (نأخذ المجاهيل في طرف والمعاليم في طرف ثاني )
اذن 5-/ 6- = x اي 5/ 6 = x ( نختزل الناقص مع الناقص )
وبالتالي المعادلة تقبل حل وحيد هو 6/5
2)
لدينا (5x-15 = 5(x - ( نكتب لدينا وبجانبها المعادلة كماهي )
5x-15 = 5x-15 ( نقوم بتبسيط العبارة ننشر الرقم 5 على القوس )
ومنه 15+15- = 5x-5x (نأخذ المجاهيل في طرف والمعاليم في طرف ثاني )
إذن 0 = 0x اي 0 = 0 ( هنا المعادلة محققة )
وبالتالي جميع الأعداد الحقيقية حلول لهذه المعادلة
3)
لدينا 3x+4 = 3x+6 ( نكتب لدينا وبجانبها المعادلة كماهي )
ومنه 4-6 = 3x-3x (نأخذ المجاهيل في طرف والمعاليم في طرف ثاني )
إذن 2 = 0x ( غير ممكن لأن أي عدد نضربه في الصفر يعطينا 0
2 ⧧ 0 و0 لايساوي 2 )
وبالتالي المعادلة لاتقبل حلول
ملاحظة :
✅ معنى كلمة المجاهيل هي الأعداد التي تحتوي على المجهول x
✅ معنى كلمة المعاليم هي الأعداد التي لا تحتوي على المجهول x تكون أعداد فقط خالية من x
الحالة 2 :
لما يكون لدينا معادلة من الشكل 0 = (ax + b)(cx + d ) هذا يعني أن المعادلة تكافئ 0 = (ax + b) أو 0 = (cx + d )
اي أن ax = - b أو cx = - d
إذن x = -b/a أو x = -d/c
خاصية :
a و b عددان حقيقيان إذا كان 0 = a * b يعني a = 0 أو b = 0
مثال
حل المعادلتين التالييتين :
1) 0 = (x-4)(3x - 2)
2) x^2)-3x = 0)
الحل
1)
لدينا 0 = (x-4)(3x - 2)
تكافئ 0 = (x-4) أو 0 =(3x - 2)
ومنه x = 4 أو 3x = 2
إذن x = 4 أو x = 2/3
وبالتالي المعادلة تقبل حلين هما 4 و 2/3
2)
لدينا x^2)-3x = 0)
ومنه 0 = (x(x-3
تكافئ x = 0 أو x-3 = 0
إذن x = 0 أو x = 3
وبالتالي المعادلة تقبل حلين هما 0 و 3
الحالة 3 :
إذا كانت المعادلة تحتوي على كسور نوحد المقامات لاحظ معي المثال التالي
مثال
حل المعادلة التالية :
3x+1)/2 = (x-5)/7)
الحل
لدينا 3x+1)/2 = (x-5)/7)
(2/2 ) * 3x+1)/2 * (7/7) = (x-5)/7) (نوحد المقامات عادي)
2 *3x+1)*7/2*7 = (x-5)*2/7)
3x*7)+(1*7)/14 = (x*2)-5*2/14) (نوزع العدد على القوس)
21x+7= 2x-10 (إختزلنا العدد 14 الطرف الأول مع الطرف الثاني وقمنا بالنشر)
ومنه 21x-2x= -7-10 ( نأخذ المجاهيل في طرف والمعاليم في طرف ثاني)
إذن 19x= -17
أي 19/x= -17
وبالتالي المعادلة تقبل حل وحيد هو 17/19-
الحالة 4 :
لحل معادلات من الشكل x^2 = a دائما نتذكر المتطابقة الهامة رقم 3 التالية
(a^2 - b^2 = (a+b)(a- b
خاصية :
إذا كانت a = 0 فإن حل المعادلة هو مباشرة 0 نقول في هذه الحالة أن المعادلة تقبل حل وحيد هو x = 0
إذا كانت a > 0 ( يعني أن a موجب اي إشارته + ) فإننا نقول في هذه الحالة أن المعادلة تقبل حلين هما x = √a وx = -√a
إذا كانت a < 0 ( يعني أن a سالب اي إشارته - ) فإننا نقول في هذه الحالة أن المعادلة لا تقبل أي حل
مثال
حل المعادلات التالية :
1) x^2 + 12 = 2
2) 2x-1)^2 -9 = 0)
الحل
1)
لدينا x^2 + 12 = 2
ومنه 12 -x^2 = 2
إذن x^2 =-10
وبالتالي المعادلة لاتقبل حلول لأن 10- سالبة
2)
لدينا 2x-1)^2 -9 = 0)
ومنه 2x-1)^2 -3^2 = 0)
2x-1+3)(2x-1-3) = 0)
2x+2)(2x-4) = 0)
تكافئ 2x+2 = 0 أو 2x-4 = 0
2x = -2 أو 2x = 4
إذن 2/x = -2 أو 2/x = 4
اي x = -1 أو x = 2
وبالتالي المعادلة تقبل حلين هما 1- و 2
يصرف أستاذ نصف أجرته في الكراء والمأكل والمشرب . وثلثها يرسله إلى أمه وسبعها في اللباس والتنقل ويوفر بأعجوبة 150 دينار. فما هي أجرة الأستاذ الشهرية ؟
الحالة 5 :
طريقة حل معادلة بالتعميل أو مايسمى بالتحليل إذا وجدنا عامل مشترك
مثال
حل المعادلة التالية :
0 = (2√+2x(x+√2)-√3(x
الحل
لدينا 0 = (2√+2x(x+√2)-√3(x
ومنه 0 = (x+√2)-(2x-√3) (نأخذ x+√2 عامل مشترك)
هذا يكافئ 0 = x+√2 أو 0 =2x-√3
2√- = x أو 3√ =2x
إذن 2√- = x أو 2/3√ =x
وبالتالي المعادلة تقبل حلين هما 2√- و 2/3√
الحالة 6 :
إذا لم نجد عامل مشترك في المعادلة نلجأ لطريقة النشر تابع معي المثال
مثال
حل المعادلة التالية :
(3x+6)-x = 4 (-2x+6)-
الحل
لدينا (3x+6)-x = 4 (-2x+6)-
3x-6-x = 4*(-2x)+4*6- (نقوم بالنشر عادي)
3x-6-x = -8x+24-
ومنه 6+3x-x+8x = 24- (نقوم بالتبسيط)
4x = 30
إذن 4/x = 30 (نختزل نقسم البسط والمقام على 2)
أي 2/x = 15
وبالتالي المعادلة تقبل حل وحيد هو 2/ 15
المسألة المرتبطة بالمعادلة :
لحل أي مسألة كانت دائما نتبع الخطوات التالية :
1) نقرأ المسألة بتمعن ونتأكد من أن المعطيات كافية وفي علاقة فيما بينهم مثل
(أحدهم يمثل الضعف - النصف - الربع - الثلث - السدس - نفس - يزيد عن - ينقص عن ...الخ) بالنسبة للمعطى الآخر.
2) محاولة إختيار المجهول x من السؤال المطروح.
3) محاولة إستغلال معطيات نص المسألة وصياغة معادلة.
4) حل المعادلة .
5) التأكد من منطقية الحل .
مثال
يصرف أستاذ نصف أجرته في الكراء والمأكل والمشرب . وثلثها يرسله إلى أمه وسبعها في اللباس والتنقل ويوفر بأعجوبة 150 دينار. فما هي أجرة الأستاذ الشهرية ؟
إختيار المجهول :
ليكن x أجرة الأستاذ الشهرية .
صياغة المعادلة :
✔️ بما أن نصف الأجرة يصرفها الأستاذ في الكراء والمأكل والمشرب هذا يمثل x/2 .
✔️ والثلث يرسله إلى أمه هذا يمثل x/3 .
✔️ والسبع يصرفه في اللباس والتنقل هذا يمثل x/7 .
✔️ ويوفر 150 دينار
إذن مجموع المصاريف باإضافة إلى مايوفر يساوي أجرته الشهرية .
وبالتالي المعادلة هي :
x/2 + x/3 + x/7 + 150 = x
حل المعادلة :
المعادلة تكافئ : 1/x/2 + x/3 + x/7 + 150/1 = x
(أي عدد ليس له مقام معناه مقامه يساوي 1)
42*42/1*x*21/2*21 )+(x*14/3*14) +(x*6/7*6) + (150*42/1*42) = x)
(نوحد المقامات بالطريقة التي نعرفها هنا جعلت المقام الموحد هو 42)
لمعرفة طريقة توحيد المقامات
نكمل حل المعادلة
21x/42 +14x/42 +6x/42 + 6300/42 = 42x/42 (نبسط أكثر)
21x +14x +6x + 6300 = 42x (نختزل 42 الطرف الأول مع الطرف الثاني)
21x +14x +6x - 42x =- 6300 (نأخذ المجاهيل في جهة والمعاليم في جهة)
41x - 42x = -6300
x = -6300- (نختزل الناقص مع الناقص)
إذن x = 6300
الرجوع إلى المسألة والتحقق من الحل :
وجدنا x = 6300 نتحقق من الحل إذا كان صحيح او خطأ
لدينا المعادلة التي صغناها من المسألة هي x/2 + x/3 + x/7 + 150 = x
نعض قيمة x التي ودناها في المعادلة
6300 = 3150+2100+900+150 = 150 + 6300/7 + 6300/3 +6300/2
إذن المعادلة تحققت من أجل x = 6300
وبالتالي أجرة الأستاذ الشهرية هي 6300 دينار
هذا كل مايخص درس المعادلات أتمنى أن يكون مفهوما للجميع وأي سؤال أو إستفسار يطرح وسنجيبكم عليه إن شاء الله
- بالتوفيق -
ليست هناك تعليقات:
إرسال تعليق